جزوه معادلات دیفرانسیل به زبان ساده دیفرانسیل

کانون آموزشی و فرهنگی کانون خرد ایران انواع PDF و فایل صوتی | بخش دانشگاهی

---

تعریف معادله دیفرانسیل

معادله دیفرانسیل معادله ای است که شامل یک یا چند عبارت و مشتقات یک متغیر (یعنی متغیر وابسته) نسبت به متغیر دیگر (یعنی متغیر مستقل) است.

dy/dx = f(x)

در اینجا “x” یک متغیر مستقل و “y” یک متغیر وابسته است

به عنوان مثال، dy/dx = 5x

معادله دیفرانسیل مشتقاتی است که یا مشتقات جزئی یا مشتقات معمولی هستند. مشتق نرخ تغییر را نشان می‌دهد و معادله دیفرانسیل رابطه‌ای بین کمیت را توصیف می‌کند که به طور مداوم با توجه به تغییر در کمیت دیگر در حال تغییر است. تعداد زیادی فرمول معادلات دیفرانسیل برای یافتن جواب مشتقات وجود دارد.

---

ترتیب معادله دیفرانسیل

ترتیب معادله دیفرانسیل، مرتبه بالاترین مشتق موجود در معادله است. در اینجا چند مثال برای مرتبه های مختلف معادله دیفرانسیل آورده شده است.

• dy/dx = 3x + 2، ترتیب معادله ۱ است
• (d2y/dx2)+ 2 (dy/dx)+y = 0. ترتیب ۲ است
• (dy/dt)+y = kt. ترتیب ۱ است
• معادله دیفرانسیل مرتبه اول

در مثال اول می بینید که یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول است که درجه آن برابر با ۱ است. تمام معادلات خطی به صورت مشتقات در مرتبه اول قرار دارند.

---

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم

معادله ای که مشتق مرتبه دوم را شامل می شود معادله دیفرانسیل مرتبه دوم است. به صورت نمایش داده می شود؛

d/dx(dy/dx) = d2y/dx2 = f”(x) = y”

معادلات دیفرانسیل پی دی اف
معادلات دیفرانسیل برای کلاس ۱۲
سوالات مهم کلاس ۱۲ ریاضی فصل ۹ معادلات دیفرانسیل

---

درجه معادله دیفرانسیل

درجه معادله دیفرانسیل توان مشتق بالاترین مرتبه است که در آن معادله اصلی به شکل یک معادله چند جمله ای در مشتقاتی مانند y، y، y” و غیره نشان داده می شود.

لینک مفید : طرح درس سلامت پرستاری

فرض کنید (d2y/dx2)+ 2 (dy/dx)+y = 0 یک معادله دیفرانسیل است، بنابراین درجه این معادله در اینجا ۱ است. چند مثال دیگر را اینجا ببینید:

• dy/dx + 1 = 0، درجه ۱ است
• (y”‘)3 + 3y” + 6y’ – 12 = 0، درجه ۳ است
• (dy/dx) + cos(dy/dx) = 0; این یک معادله چند جمله ای در y نیست و درجه چنین معادله دیفرانسیل را نمی توان تعریف کرد.

توجه داشته باشید:

ترتیب و درجه (اگر تعریف شده باشد) یک معادله دیفرانسیل همیشه اعداد صحیح مثبت هستند.

انواع معادلات دیفرانسیل

• معادلات دیفرانسیل را می توان به چند نوع تقسیم کرد
• معادلات دیفرانسیل معمولی
• معادلات دیفرانسیل جزئی
• معادلات دیفرانسیل خطی
• معادلات دیفرانسیل غیرخطی
• معادلات دیفرانسیل همگن
• معادلات دیفرانسیل ناهمگن

---

معادله دیفرانسیل معمولی

یک معادله دیفرانسیل معمولی شامل تابع و مشتقات آن است. این شامل تنها یک متغیر مستقل و یک یا چند مشتق از آن با توجه به متغیر است.

لینک مفید : کتاب پرازیتولوژی طبی

ترتیب معادلات دیفرانسیل معمولی به عنوان ترتیب بالاترین مشتقی که در معادله رخ می دهد تعریف می شود. شکل کلی ODE مرتبه n به صورت داده شده است

---

حل معادلات دیفرانسیل

تابعی که معادله دیفرانسیل داده شده را برآورده کند، جواب آن نامیده می شود. راه حلی که به اندازه ترتیب معادله دیفرانسیل دارای ثابت دلخواه باشد، جواب کلی می گویند. راه حل عاری از ثابت دلخواه را یک راه حل خاص می نامند. دو روش برای یافتن جواب معادله دیفرانسیل وجود دارد.

• جداسازی متغیرها
• عامل یکپارچه سازی
• معادله دیفرانسیل
• معادله دیفرانسیل

جداسازی متغیر زمانی انجام می شود که معادله دیفرانسیل را بتوان به شکل dy/dx = f(y)g(x) نوشت که f فقط تابع y و g فقط تابع x است. با در نظر گرفتن یک شرط اولیه، این مسئله را به صورت ۱/f(y)dy=g(x)dx بازنویسی کنید و سپس در هر دو طرف ادغام کنید.

لینک مفید : لغات زبان تخصصی رشته کامپیوتر it

تکنیک عامل ادغام زمانی استفاده می شود که معادله دیفرانسیل به شکل dy/dx + p(x)y = q(x) باشد که در آن p و q هر دو تابع x هستند.

معادله دیفرانسیل مرتبه اول به شکل y’+ P(x)y = Q(x) است. که در آن P و Q هر دو تابع x و اولین مشتق از y هستند.

لینک مفید : ریاضیات عمومی – انتگرال (فصل ۴-۹)

معادله دیفرانسیل مرتبه بالاتر معادله ای است که مشتقاتی از یک تابع مجهول را شامل می شود که می تواند مشتق جزئی یا معمولی باشد. می توان آن را به هر ترتیبی نشان داد.

ما همچنین یک حل کننده معادله دیفرانسیل را برای یافتن راه حل برای مسائل مرتبط ارائه می دهیم.

---

برنامه های کاربردی

معادلات دیفرانسیل کاربردهای متعددی در زمینه های مختلف مانند ریاضیات کاربردی، علوم و مهندسی دارند.

لینک مفید : منابع دکتری وزارت بهداشت

جدا از کاربردهای فنی، در حل بسیاری از مشکلات زندگی واقعی نیز استفاده می شود. اجازه دهید برخی از کاربردهای معادلات دیفرانسیل را در زمان واقعی ببینیم.

۱) معادلات دیفرانسیل رشد و زوال نمایی مختلف را توصیف می کند.

۲) همچنین برای توصیف تغییر در بازده سرمایه گذاری در طول زمان استفاده می شود.

۳) در زمینه علوم پزشکی برای مدل سازی رشد سرطان یا گسترش بیماری در بدن استفاده می شود.

۴) حرکت برق را نیز می توان به کمک آن توصیف کرد.

۵) آنها به اقتصاددانان در یافتن استراتژی های سرمایه گذاری بهینه کمک می کنند.

۶) حرکت امواج یا آونگ را نیز می توان با استفاده از این معادلات توصیف کرد.

کاربردهای مختلف دیگر در مهندسی عبارتند از: تجزیه و تحلیل هدایت گرما، در فیزیک می توان از آن برای درک حرکت امواج استفاده کرد.

لینک مفید : جزوه مقایسه نوروپسیکولوژی

معادله دیفرانسیل معمولی را می توان به عنوان یک کاربرد در زمینه مهندسی برای یافتن رابطه بین بخش های مختلف پل استفاده کرد.

---

معادلات دیفرانسیل خطی مثال دنیای واقعی

برای درک معادلات دیفرانسیل، اجازه دهید این مثال ساده را در نظر بگیریم. آیا تا به حال به این فکر کرده اید که چرا یک فنجان قهوه داغ در شرایط عادی خنک می شود؟

لینک مفید : بخش خدمات مشاوره

به گفته نیوتن، سرد شدن یک جسم داغ متناسب با اختلاف دمای بین دمای T و دمای T0 محیط اطراف آن است. این عبارت را از نظر ریاضی می توان به صورت زیر نوشت:

dT/dt ∝ (T – T0)………… (۱)

این شکل یک معادله دیفرانسیل خطی است.

با معرفی یک ثابت تناسب k، معادله فوق را می توان به صورت زیر نوشت:

dT/dt = k(T – T0) ………… (۲)

در اینجا، T دمای بدن و t زمان است،

T0 دمای محیط اطراف است،

dT/dt میزان خنک شدن بدن است

و . . .

---

این موضوع به صورت کامل و جامع داخل این پی دی اف توضیح داده شده ، لطفا تهیه و با دقت مطالعه کنید !!

---

برگرفته از : Differential Equations