فرمول های انتگرال گیری کامل و آشنایی با انتگرال

کانون آموزشی و فرهنگی کانون خرد ایران انواع PDF و فایل صوتی | بخش دانشگاهی

---

فرمول های انتگرال گیری کامل

فرمول های ادغام به طور کلی به عنوان شش مجموعه فرمول زیر ارائه شده اند. اساساً یکپارچگی راهی برای متحد کردن جزء برای یافتن یک کل است.

فرمول ها شامل فرمول های ادغام اولیه، ادغام نسبت های مثلثاتی، توابع مثلثاتی معکوس، حاصلضرب توابع، و مجموعه ای پیشرفته از فرمول های ادغام هستند. ادغام عملیات معکوس تمایز است. بنابراین فرمول ادغام اولیه است

• f'(x).dx = f(x) + C

---

فرمول های ادغام اولیه

با استفاده از قضایای اساسی انتگرال ها، نتایج تعمیم یافته ای به دست می آید که به عنوان فرمول های انتگرال در انتگرال گیری نامعین به خاطر سپرده می شوند.

∫ xn.dx = x(n + 1)/(n + 1)+ C
∫ ۱.dx = x + C
? ex.dx = ex + C
∫۱/x.dx = log|x| + سی
? ax.dx = ax /loga+ C
∫ ex[f(x) + f'(x)].dx = ex.f(x) + C

---

فرمول های یکپارچه سازی توابع مثلثاتی

فرآیند یافتن انتگرال یکپارچه سازی است. در اینجا چند فرمول ادغام مهم وجود دارد که برای محاسبات فوری و سریع به خاطر سپرده شده است.

فرمول های انتگرال گیری : وقتی صحبت از توابع مثلثاتی می شود، آنها را ساده می کنیم و آنها را به عنوان توابعی که قابل ادغام هستند بازنویسی می کنیم. در اینجا لیستی از توابع مثلثاتی و مثلثاتی معکوس آمده است.

• ? cosx.dx = sinx + C
• ? sinx.dx = -cosx + C
• ∫ sec2x.dx = tanx + C
• ∫ cosec2x.dx = -cotx + C
• ? secx.tanx.dx = secx + C
• ? cosecx.cotx.dx = -cosecx + C
• ? tanx.dx =log|secx| + سی
• ? cotx.dx = log|sinx| + سی
• ∫ secx.dx = log|secx + tanx| + سی
• ? cosecx.dx = log|cosecx – cotx| + سی

---

فرمول های یکپارچه سازی

فرمول های یکپارچه سازی توابع مثلثاتی معکوس:

• ∫۱/√(۱ – x2).dx = sin-1x + C
• ∫ /۱(۱ – x2).dx = -cos-1x + C
• ∫۱/(۱ + x2).dx = tan-1x + C
• ∫ ۱/(۱ +x2).dx = -cot-1x + C
• ∫ ۱/x√(x2 – 1).dx = sec-1x + C
• ∫ ۱/x√(x2 – 1).dx = -cosec-1 x + C

---

فرمول های یکپارچه سازی پیشرفته

• ∫۱/(x2 – a2).dx = 1/2a.log|(x – a)(x + a| +C
• ∫ ۱/(a2 – x2).dx =1/2a.log|(a + x)(a – x)| + سی
• ∫۱/(x2 + a2).dx = 1/a.tan-1x/a + C
• ∫۱/√(x2 – a2)dx = log|x +√(x2 – a2)| + سی
• ∫ √(x2 – a2).dx =1/2.x.√(x2 – a2)-a2/2 log|x + √(x2 – a2)| + سی
• ∫۱/√(a2 – x2).dx = sin-1 x/a + C
• ∫√(a2 – x2).dx = 1/2.x.√(a2 – x2).dx + a2/2.sin-1 x/a + C
• ∫۱/√(x2 + a2 ).dx = log|x + √(x2 + a2)| + سی
• ∫ √(x2 + a2).dx =1/2.x.√(x2 + a2)+ a2/2 . log|x + √(x2 + a2 )| + سی

---

فرمول های مختلف یکپارچه سازی

۳ نوع روش ادغام وجود دارد و هر روش با تکنیک های منحصر به فرد خود در یافتن انتگرال ها اعمال می شود.

فرمول های انتگرال گیری : آنها نتایج استاندارد شده هستند. آنها را می توان به عنوان فرمول های ادغام به خاطر آورد.

---

فرمول های یکپارچه سازی روش های مختلف ادغام

ادغام با فرمول قطعات:

وقتی تابع داده شده حاصل ضرب دو تابع باشد، این یکپارچگی را با فرمول قطعات یا یکپارچگی جزئی اعمال می کنیم و انتگرال را ارزیابی می کنیم. فرمول ادغام هنگام استفاده از ادغام جزئی به صورت زیر ارائه می شود:

∫ f(x).g(x) = f(x).∫g(x).dx -∫(∫g(x).dx.f'(x)).dx + c

به عنوان مثال: ∫ xex dx به شکل ∫ f(x).g(x) است. بنابراین ما فرمول یکپارچه سازی مناسب را اعمال کرده و انتگرال را ارزیابی می کنیم.

f(x) = x و g(x) = ex

بنابراین ∫ xex dx = x∫ex .dx – ∫( ∫ex .dx. x). dx + c

= xex – سابق + ج

ادغام با فرمول جایگزینی:

فرمول های انتگرال گیری : هنگامی که یک تابع تابعی از تابع دیگری است، فرمول یکپارچه سازی را برای جایگزینی اعمال می کنیم. اگر I = ∫ f(x) dx، که در آن x = g(t) به طوری که dx/dt = g'(t)، آنگاه می نویسیم dx = g'(t)

می توانیم بنویسیم I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

به عنوان مثال: ∫ (۳x +2)4 dx را در نظر بگیرید

در اینجا می توانیم از فرمول ادغام جایگزینی استفاده کنیم. اجازه دهید u = (3x+2). ⇒ du = 3. dx

بنابراین ∫ (۳x +2)4 dx =1/3. ?(u)4. دو

= ۱/۳. u5 /5 = u5 /15

= (۳x+2)5 /15

ادغام با فرمول کسری جزئی:

اگر نیاز به یافتن انتگرال P(x)/Q(x) داشته باشیم که کسری نامناسب است، که در آن درجه P(x) کمتر از Q(x) است، از انتگرال توسط کسرهای جزئی استفاده می کنیم. ما کسر را با استفاده از تجزیه جزئی کسر به صورت P(x)/Q(x) = T(x) + P تقسیم کردیم.

(x)/Q(x)، که در آن T(x) یک چند جمله ای در x و P است

لینک مفید : جزوه درس موافقتنامه های گمرکی درس موافقتنامه

فرمول های انتگرال گیری : (x)/ Q(x) یک تابع منطقی مناسب است. اگر A B و C اعداد واقعی باشند، آنگاه انواع زیر از کسرهای جزئی ساده‌تر را داریم که با انواع مختلفی از توابع گویا مرتبط هستند.

---

کاربرد فرمول های یکپارچه سازی

به طور کلی دو نوع انتگرال وجود دارد. انتگرال های معین و نامعین هستند.

---

فرمول ادغام قطعی

اینها ادغام هایی هستند که از قبل مقدار محدودی دارند. بنابراین مقدار نهایی انتگرال معین می شود.

---

فرمول یکپارچه سازی نامحدود

اینها ادغام هایی هستند که از قبل ارزش محدودیتی ندارند. بنابراین مقدار نهایی انتگرال را نامعین می کند. در اینجا، C ثابت ادغام است. ∫ g'(x) = g(x) + C

---

فرمول های یکپارچه سازی

ما از فرمول های یکپارچه سازی که تاکنون بحث شده است، در تقریب مساحت محدود شده توسط منحنی ها، در ارزیابی مسایل میانگین مسافت، سرعت و شتاب، در یافتن مقدار متوسط ​​یک تابع، برای تقریب حجم و مساحت سطح جامدات استفاده می کنیم.

فرمول های انتگرال گیری : در یافتن مرکز جرم و کار، در تخمین طول قوس، در یافتن انرژی جنبشی یک جسم متحرک با استفاده از انتگرال های نامناسب.

لینک مفید : کنترل فرآیند دانشگاه علوم تحقیقات دکتر آبادچی

اجازه دهید مسافت طی شده توسط یک جسم را با استفاده از فرمول های ادغام محاسبه کنیم. می دانیم که فاصله انتگرال معین سرعت است.

داده شده: سرعت یک جسم = v(t)= -t2 + 5t. اجازه دهید جابجایی و کل مسافت طی شده در (۱،۳) را پیدا کنیم.

فرمول های انتگرال گیری : موقعیت اولیه و نهایی جسم به ترتیب ۱ و ۳ است. از این رو فرمول ادغام را در اینجا با محدودیت ها اعمال کنید.

= -t3/3 + 5t2 /2

= [(-۲۷/۳-۱/۳)+(۴۵/۲ – ۵/۲)]

= -۲۸/۳ +۴۰/۳ =۱۲/۳

جابجایی =۴

فاصله بین دو نقطه قدر مطلق جابجایی آن است. مجموع فاصله گرفته شده بین موقعیت های ۱ و ۳ و برعکس ۴ + ۴ = ۸ است

فرمول های انتگرال گیری : بنابراین جابجایی جسم ۴ و مسافت طی شده توسط جسم ۴ + ۴ = ۸ است.

لینک مفید : لغات زبان تخصصی رشته کامپیوتر it لغات زبان

بیایید نحوه استفاده از فرمول های یکپارچه سازی نامحدود را در مثال های حل شده زیر ببینیم.

و . . .

---

این موضوع به صورت کامل و جامع داخل این پی دی اف توضیح داده شده ، لطفا تهیه و با دقت مطالعه کنید !!

---

برگرفته از : Integration Formulas